포고이용자 여러분 안녕.    

저번에 글쓰고 요 며칠 사이에 여행도 다녀오고 바쁘게 지냈어. 

오랜만에 가족들과 술마시고 펑펑놀아서 오늘은 좀 쉴려고 했는데 덧글로 다음 글을 빨리 쓰지 않으면 죽이겠다는 살인협박까지 들어와서 지금 쓰기로함 ....

저번에 쓴 글은 게임의 이론을 소개하는 정도였고 이재부터 포커에서 게임의 이론이 어떻게 사용되는지 설명할거야.  

그전에 일단 용어 정리를 해야할 필요성을 느꼇어.   

국내에서 게임의 이론을 가르치는 포커사이트도 없고 그래서 게임이론에 나오는 영어단어를 누가 정의해놓은게 없더라고 

앞으로 많이 사용될 말들과 뜻이야.  

Nash Equilibrium (내쉬균형) : 게임의 이론에서 완전한 밸런스를 이룬 상태.   

게임에 따라 모든 플래이어가 완전한 밸런스로 플래이해야 내쉬균형이라고 말하는 사람들도 있지만 보통 플래이어 혼자만 완전한 

밸런스로 플래이해도 내쉬균형 이라고 한다.

Game theory optimal .   (게임이론 최적화)   :   게임의 이론에 따라 빈도가 최적화 된 플래이.   

게임이론 최적화로 플래이하면 상대가 어떤 전략을 쓰더라도 플래이어의 기대값을 바꿀수 없고 자기 자신의 기대값도 바꿀수 없다.   

포커에서 발류뱃-블러핑 빈도를 조절해 게임이론 최적화 확률로 맞추면 내쉬균형을 이루었다고 한다.

Exploitable play . (불균형한 플레이)  :    게임이론의 최적화 밸런스가 아닌 플래이.     

예를 들어 포커에서 콜링스태이션(폴드보다 콜을 너무 좋아하는)  플래이어를 상대로 게임이론 최적화로 발류뱃-블러핑을 하지 않고

블러핑을 포기하고 발류뱃만하는 밸런스를 무시하는 플래이를 한다면 그것이 불균형한 플래이다.  

불균형한 플래이를 하면 상대가 어떤 전략을 쓰냐에 따라 (콜 아니면 폴드) 너의 기대값과 상대의 기대값이 바뀐다.     

게임의 이론을 소개하는 글을 아직 읽어보지 않은 게이는 그것부터 보고 읽으라고 강조하고 싶다. 

게임의 이론 소개

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홀덤이던 오마하던 포커를 하다보면 모두 다 하게되는 두 가지 고민이 있다. 

1) 체크하면 분명히 지는 약한 핸드를 가지고 있는데 블러핑을 할것인가 말것인가 ?    

2) 나는 지금 강하지도 약하지도 않은 상대의 블러핑만 이기는 핸드(블러프 케처)를 들고 있는데  콜(블러프 케치) 할까 폴드할까 ?

전자의 경우 폴드 버튼이 고장 났는지 개속 콜을 해대는 콜링스태이션을 상대로는 블러핑을 안하고 자꾸 폴드만 하는 닛(nit)을 상대로는 블러핑을 자주 하면 되잔아 라고

간단하게 생각 할 수도 있다.    

하지만 문재는 처음보는 플래이어가 어떤 류에 속하는지 알수가 없고 거의 대부분의 플래이어들은 콜링스태이션과 닛의 중간쯤에 속한다.  

더 큰 문재는 그들이 니가 얼마나 블러핑을 자주하는지 관찰하고 있고 그것에 맞추어서 플래이 할 것이다.  

후자의 경우도 역시 상대가 블러핑을 자주하는 매니악이면 콜하고 블러핑을 하지않는 닛이면 폴드하면 될거 같지만 

그렇게 쉽지가 않다.  역시 대부분 그 중간쯤이고 니가 얼마나 자주 콜하나를 보고 맞춰서 플래이 할 것이다.

이런 고민을 하던 우리의 포커 선배님들은  게임이론에 따라 상대가 어떻게 하던 이득을 낼수 있는 블러핑% 그리고 얼마나 자주 블러프 케치를 해야 최적화인지 수학적으로 찾을수 있는 방법을 연구했다.  

그리고 미국에 마이크 카로가 해법을 재시하게 된다.  

     

마이크 카로의 AKQ게임.  (포커의 시작.)   

AKQ게임은 카로님이 포커에서 어떻게 게임이론을 이용해 발류뱃-블러핑 빈도를 조절하면 상대가 어떤 전략을 써도 이길수 있는지 

설명하기 위해 만든 단순화된 포커게임이다.

마이크 카로의 AKQ 포커 동화.  

태초에 원시인들은 우리처럼 놀이로 즐길게 없었다. 

그래서 원시인1이 A라는 카드를 만들었다.   

하지만 A 하나로는 할수있는 게임이 없었다.   아마 A 하늘로 던져서 앞면 나오나 뒷면 나오나 맞추기 이정도는 할수있을듯.  

그러자 원시인2이 K이라는 카드를 만들었다.   

이재 A와 K 두장이 있으니 한명씩 나누어 가지면 랜덤이라는 요소가 생겼다.  

하지만 한명이 A잡고 있으면 다른 원시인은 K을 가지고 있는게 뻔하니 랜덤이라는 요소가 소용이 없었다.  

그때 원시인1의 와이프가 "그러면 Q도 만들자" 라는 아이디어를 재안했고 

그렇게 악마의 게임 포커가 탄생되었다.  

마이크 카로의 AKQ 게임 규칙.  

1. AKQ 1장씩 종합 3장이 들어있는 덱으로 원시인1가 원시인2가 플래이한다.  

2. 승리하는 패는 A>K>Q 이다.    A가 가장 강한 패고 그다음 K 그리고 Q이 가장 약하다.

3. 한판 마다 플래이 하기전 둘 다  핸드를 보지 않은 상태로 $1 씩 걸어서 판에 $2가 깔린다.  (블라인드)

4.  패를 한장씩 가지면 원시인1은 자신의 핸드를 보고 $1를 더 배팅 할것인가 체크할것인가 선택할수 있다.  ($1만 배팅할수 있음)

원시인2는 1이 배팅했을 경우 콜 아니면 폴드를 선택한다.  1이 배팅하지 않았을 경우 2는 배팅할수 없고 체크만 할수있다.     

내가 A를 가지고 있으면 상대는 K,Q 둘중에 하나를 가지고 있고 , K을 가지면 상대는 A나 Q , 내가 Q이면 상대는 A,K을 가지고 있다. 

배팅도 1만 할수있고 $1만 뱃할수 있는 매우 간단한 게임.  

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* 경고 :  여기서부터는 게임이론에 수학적인 부분이 들어간다. 

기대값 계산법이나 포커에 odd계산법이 아직 익숙치 않은 게이는 이해가 안되고 머리가 아플수 있다. 

하지만 기대값 계산법은 포커에서 너무나 중요한것이고 언잰가는 배워야  할것이다.  

기대값을 쉽개 계산하는법도 적을 것이니 읽어봐라.

이 게임에서 내쉬균형이 어떻게 되는지 찾기 위해 원시인1,2가 쓸수있는 전략들을 생각해보자.  

원시인 1의 전략 .   원시인1은 배팅을 할지 첵을 할지 결정해야 한다.

A   :   100%로 뱃한다.  설명이 필요없다.

K   :   100%로 첵한다.   원시인1이 K이면 원시인2는 A나 Q을 들고 있는데 Q으로 콜해줄리가 없다. 뱃하면 A로만 콜 할 것이다.

Q   :    원시인1은 Q으로 배팅(블러핑)을 해야 할까 ?    Q으로 뱃하면 상대가 A들고 있을떄는 무조건 콜을 할태니 $1를 잃게 된다.  

하지만 상대가 K을 들고있으면 A가 두려워서 폴드 할수도 있다.   폴드하면 블라인드 $2를 가지게 된다. 

원시인 2의 전략.   원시인 2는 상대가 뱃했을때 콜 아니면 폴드만 정하면 된다. 상대가 첵하면 같이 체크해야함.

A : 100% 콜한다.  설명이 필요없다. 

K:  원시인2는 K을들고 콜해야 하나 ?   상대가 A로 뱃한거면 $1를 더 잃게되지만 상대가 Q으로 블러핑이면 $1 를 더 따게 된다. 

Q : 100%로 폴드한다.  내가 Q이면 상대는 A 아니면 K이다.  둘다 나를 이긴다.  콜하면 바보.    

**  여기서 원시인 1이 K으로 반드시 첵해야 하는것은 포커에서 중요한 개념이고 초보자들이 잘 이해하지 못해서 자주 실수하는 것이다. 

아마 홀덤을 처음 배울때 리버에서 중간 정도의 핸드로 배팅하지말고 첵하라는 말을 들은적이 있을것이다.  

이것이 바로 그 이유다.  리버에서 중간핸드로 배팅하면 상대는 너보다 강한 핸드로는 콜하고 약한 핸드로는 폴드한다. 

상대가 약한핸드로 폴드 했을때는 어짜피 니가 첵했어도 이길 핸드였으니 얻는게 없고 상대가 너보다 더 강한 핸드일때만 돈을 퍼다주는 샘이다. **  

정리하자면 

원시인1                  원시인 2 

 A = 뱃                    A= 콜 

 K = 첵                    K=  ?

 Q =  ?                     Q = 폴드     

원시인1은 Q을 들고 블러핑을 해야할까 ? 

원시인2는 K을 들고 콜을 해야하나 ? 

원시인 1이 Q을 들고 뱃했을때 기대값 계산.  

기대값 계산을 할 줄 모르는 게이들을위해 가르쳐준다. 

기대값 =  (승률 곱하기 따는돈)  빼기 [ (100 - 승률)  곱하기 잃는돈]

기대값 =  (2*X) - ( 1* (100-X) )     X는 원시인2가 폴드할 확률.  

이렇게 계산하면 원시인2가 33.3%로 폴드했을때 기대값이 0이된다.   33.3%이상으로 폴드하면 블러핑이 이득이고 33.3%이하면 첵하는것이 이득이다. 

그리고 원시인2가 적확히 33.3% 로 폴드하면 블러핑을 하나 안하나 기대값은 0이다.

이렇게 계산하는게 어려운 게이들을 위해서 블러핑 기대값 쉽개 계산하는 법을 가르쳐준다.  

위에 경우 팟에 $2가 있는데 원시인1이 $1를 뱃하니까 하프팟 사이즈 뱃이다.  1/2 뱃이라고 한다.  

만약 $2를 뱃했으면 1/1(팟 뱃) 이다.    아주 쉽게 계산하는 법은 위에 숫자를 아래에 더하고 %를 계산하는것이다 .  

1/1 뱃은 상대가 1/2(50%)이상 폴드해야 이득이고 1/2뱃은 상대가 1/3(33%)이상 폴드해야 이득이다.  2/3뱃은 상대가 2/5(40%) 이상 폴드해야 이득.  

그런데 원시인2가 얼마나 폴드하는지 모른다면 어떻게 하나 ?  

그리고 원시인2가 K을 자주 폴드한다고 개속 블러핑하면 원시인2도 여기에 맞춰서 블러프케치 빈도를 줄일것이다. 

그러면 게임이론 최적화 블러핑 빈도는 어떻게 될까 ?  

포커에서 게임이론 최적화 블러핑 빈도는 의외로 계산하기 쉽다. 

나의 기대값을 보는게 아니라 상대의 기대값을 계산해보면 얼마나 블러핑해야 상대가 기대값을 바꿀수 없는지 알수있다.  

눈치가 빠른 사람은 벌써 위에 원시인1의 블러핑 기대값 계산에서 이미 원시인2가 얼마나 콜을해야 게임이론 최적화가 되는지 

알았을것이다.  

원시인2가 K으로 콜할때 기대값 계산. 

(3*X) - [1* (100-X) ]     X는 콜했을때 원시인1이 Q을 들고 있을 확률.  원시인1이 Q으로 블러핑하는 확률이 아니다. 

역시 쉽게 계산하는 법이 있다. 

 상대가 1/1 뱃을 하면 1/3 확률이상으로 이겨야 하고 , 1/2뱃이면 1/4 확률로 이겨야 한다.   2/3 뱃이면 2/7확률로 이겨야 함.

블러핑 계산법과 조금 다르게 윗숫자*2 를 아래 숫자에 더 한다.  

이유는 블러핑은 성공하면 팟에 있는 돈만 가질수 있지만 블러프케치는 팟에다 상대가 블러핑한 돈도 가져가서 그런것.  

이 경우 원시인2는 상대가 1/2뱃을 했으니 승률 1/4 (25%) 이상 나와야 콜이 이득이고 이하면 폴드해야한다. 

승률이 적확히 25%면 콜을 하나 폴드를 하나 기대값은 변하지 않는다.     

 원시인 1 게임이론 최적화 

 발류뱃-블러핑 (A-Q) 비율을 맞추어 원시인2가 K으로 콜했을때 승률 25%가 나오게 해야한다.

원시인 1이 블러핑 비율을 25% 로 만들려면 발류뱃 3 - 블러핑 1.  4번 뱃해서 그중 한번이 블러핑이면 25%가 나온다고 생각하면 이해하기 쉽다. 

발류뱃3-블러핑 1 이면 발류뱃이 블러핑보다 3배 많아야 한다.  

A로는 100% 뱃할것이니 Q으로 33.3% 블러핑 하면 발류뱃3 - 블러핑 1 완전한 균형이 완성된다.    

  원시인 2 게임이론 최적화   

콜-폴드 비율을 맞추어 원시인1이 Q으로 배팅했을때 33.3%로 폴드 , 66.%로 콜해야 함. 

여기서 K을들고 66.6%로 콜해야 한다고 착각할수 있지만 원시인1이 Q으로 블러핑할때 50%로 나는 A를 들고 있기 떄문에 

66.6%의 절반인 33.3%만 콜하면 전채적으로 66.6% 콜하게 된다.

내쉬 균형  

    원시인 1              원시인 2 

A:  뱃                       A: 콜 

K:  첵                       K: 33.3% 콜 

Q:  뱃 33.3%            Q: 폴드         

이렇게 해서 두 원시인은 내쉬균형을 이루었다.    

이 게임의 특징은 둘 다 내쉬균형을 이루어도 기대값을 계산해보면 원시인1이 한판당 평균 

$0.386 씩 돈을 딴다. 

원시인2는 완벽하게 플레이해도 한판당 $0.386씩 잃는 것이다  

이유는 처음부터 이 게임은 발류뱃과 블러핑의 선택이 있는 원시인1이 유리한 게임이였다. 

원시인1이 첵했을때 발류뱃이나 블러핑 권한이 없는 원시인2는 불리한 게임. 

이경우 원시인2가 게임이론 최적화로 플래이하는 이유는 돈을 따기 위해서가 아니라 피해를 최소화 하기 위한 것이다.  

실제로 이런 상황은 노리밋홀덤에서 자주 일어난다. 

예를 들어 A 8 를 오픈했고 한명이 콜했다 

플랍 : A96 

콜하기를 원하면서 발류뱃 했더니 상대가 레이즈 한다.  할 수 있는건 콜 뿐이다.  여기서 레이즈하면 상대가 블러핑일떄는 폴드하면 그만이고  상대가 A9,A6, 99,66,96일때는 돈을 퍼다주는 샘이다. 

원시인1이 K을 들고 배팅하지 않는 이유와 비슷하다.  드로우 상대로 핸드를 보호하는 의미가 조금 있을수 있지만 전채적으로 봐서 할수 있는게 콜 말고는 없다. 

턴 : A962 

첵하고 상대가 그만 배팅 하기를 원하지만 또 뱃한다 . 2은 최고의 카드중 하나다. 상대의 세미블러핑 드로우가 모두 다 빗나갔으니 또 콜한다.  

리버 : A9623 

다행히 모든 드로우가 빗나갔다.  책하고 상대가 87 같은 핸드로 블러핑을 포기하고 첵해주면 고마울탠대 또 뱃한다. 

상대는 빗나간 드로우를 들고 있을수도 있고 A9,A6, 99,66,96 같은 핸드를 들고 있을 수 도 있다.  

여태까지 플래이로 보아 나는 원패어 핸드를 들고 있는게 너무 뻔한데 상대는 강한핸드를 들고 있을 수 도 있고 빗나간 드로우를 들고 있을 수 도 있다. 

나는 게임이론을 배우기 전에는 왜 포커는 공평한 게임인데 이런 상황이 올때 마다 내가 불리하다는 느낌이 들까 이런 의문을 가졌었는데 

마이크 카로의 AKQ 게임을 배우고 알게 되었다.  불리하다는 느낌이 드는건 진짜로 불리하기 떄문이다.  

이상황에서 상대가 발류뱃-블러핑이 적절히 밸런스된 레인지로 저렇게 배팅을 개속하면 할수 있는게 없다. 

 할수 있는게 있다면 상대 뱃사이즈에 맞추어 게임의이론 최적화로 블러프케치를 해서 피해를 최소화 하는정도.

이 글을 읽은 게이들은 앞으로 이런 상황에서 공격적인 입장이면 자신의 레인지를 생각해보고 어떻게 발류벳-블러핑을 밸런스해야 이득인가 

그리고 수비적인 입장이면 몃%로 블러프케치해야 최적화된 플래이인가를 연구해 보길 바란다.  

이런 공부를 하다보면 상대가 어떤 상황에서 최적화보다 더 많이 블러핑을 한다던지 , 최적화보다 너무 자주 블러프케치를 한다던지 하는것이 보이기 시작하고 

자연스럽게 그런 플래이어들을 상대로 최고의 이득을 내는 불균형한 플래이를 하는법을 배우게 될 것이다.  

이번 글에 키포인트를 설명해 주자면 

 

 항상 발류뱃-블러핑의 비율을 생각해라. 

상대의 플래이에 불균형한 비율을 찾았다면 그에 맞추어서 발류뱃이나 블러핑 한쪽을 더 많이 해도 되지만 

그렇지 않으면 항상 밸런스를 염두해야 한다. 나의 레인지에 발류뱃 할수 있는 핸드가 별로 없는데 블러핑을 마구 

날린다던가 하는 플래이는 옳지 않다.   

발류뱃-블러핑의 비율을 계산하는건 위에서 보았듯이 매우 쉽다.  팟에 $100 가 있는데 $100를 배팅하면 

상대 입장에서 1/3(33%) 승률이 나와야 하니  발류뱃2 - 블러핑1 로 밸런스를 맞추면 된다.  $100 팟에 $50 뱃하면 

상대가 승률1/4 가 나와야 하니 발류뱃3 - 블러핑 1을 해야 한다.  

눈여겨 볼 것은 배팅을 크개하면 할 수록 블러핑을 자주 할수 있다는 것이다.  $100 팟에 $100을 배팅하면 블러핑을 33%나 할수 있지만 

$50만 배팅하면 블러핑을 $25%만 할수 있다.   게임이론을 배우지 않은 플래이어들은 리스크에 비해 딸수 있는 돈이 커지니 팟에 돈을 적개 걸면 적게 걸수록 

블러핑을 자주 할 수 있다고 생각하지만 반대다.

오늘은 여기 까지만. 

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게임의 이론 퀴즈. 

1) 상대가 게임이론 최적화로 플래이하면 내가 어떻게 하던 기대값이 똑같은데 왜 나도 최적화로 플래이해야 하나 ?  

어짜피 기대값이 안 변하면  아무렇게나 해도 상관없지 않나 ? 

2)  위에 핸드 예시에서 만약 리버에 팟이 $100 인데 상대가 $66.6 배팅 했다.

 나는 A8으로 몃퍼센트 콜해야 최적화인가 ? 

그리고 상대는 발류뱃-블러핑 비율을 어떻게 밸런스해야 최적화 인가 ?